3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de LAPLACE

Si  f(t) es continua por tramos en el intervalo [0, ¥) y de orden exponencial c para   t > T, entonces L {f(t)} existe para  s > c.

Demostración.   L {f(t)} =  ò  e^-st f(t) dt  +  ò  e^-st f(t) dt  =  I₁ + I₂.

La integral I₁ existe porque se puede expresar como suma de integrales sobre intervalos donde e^-st f(t) dt  es continua.  Ahora:

|I₂|  £  ò  |e^-st f(t)| dt  £  M  ò  e^-st  e^ct dt

=  M  ò  e^-(s-c)t dt = -M e^-(s-c)t/s-c |   = M e^-(s-c)T/s-c,

cuando s > c.  Como ò   Me^-(s-c)t dt converge, la integral  ò  |e^-st f(t)| dt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias.  Esto, a la vez, implica  que    I₂   existe   para   s > c.    La   existencia   de   I₁   e   I₂    implica    que   L {f(t)} =  ò  e^-st f(t) dt   existe  para   s > c.