3.10 Teorema de convolucion

3.9 Transformada de integrales

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t₁ y t₂ son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde

Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K ^{− 1}(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Notación matemática aparte, la motivación detrás de la transformada integral es fácil de entender. Hay muchas clases de los problemas que son difíciles de solucionar - o al menos bastante poco gratos algebraicamente - en sus representaciones originales. Una transformada integral "mapea" una ecuación de su dominio original en otro dominio adecuado (por ejemplo,una función senoidal "en el dominio del tiempo" puede ser representada como un fasor "en el dominio de la frecuencia"). La manipulación y la solución de la ecuación en el dominio objetivo son, cuando el método está bien escogido, mucho más fáciles que la manipulación y la solución en el dominio original. La solución entonces es mapeada al dominio original con la transformada inversa.
La transformada integral funciona porque están basadas sobre el concepto de la "factorización espectral" sobre bases ortonormales. Lo que esto significa es que, excepto algunas excepciones a veces bastante artificiales, funciones arbitrariamente complicadas pueden ser representadas como las sumas de funciones mucho más simples.

3.8 Transformada de derivadas

L { (n) (t) }= sn F(s) - s(n-1) (0) - s(n-2) '(0)-…- (n-1)(0).

Donde F(s) = L { (t) }.

 

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

En el resultado general del teorema 2 se ve que L {dny/dtn} sólo depende de Y(s) = L {y (t)} y de las n-1 derivadas de y (t) evaluadas en t=0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y', y'',….y(n):

an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),

dtn dtn-1

y(0) = y0, y'(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,

Donde las ai, i=0,…, n, y y0, y1,…, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace:

An L dny + an-1 L dn-1 y + … + a0 L {y} = L {g(t) }

Dtn dtn-1

De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en

an [snY(s) - sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]

+ An-1 [sn-1 Y(s) - sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),

Donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y después escribiremos

Y(s) = Q(s) + G(s)

P(s) P(s)

Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 +… a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…, n; también las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1 {Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.

En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:

Aplicar la transformada de Laplace L

Aplicar la transformación inversa L-1

3.7 Transformada de funciones multiplicativas (t n)

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Para que la definición dada arriba tenga sentido, algunas condiciones técnicas tienen que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, gespectro de frecuencias de la señal f. corresponde al

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. Hé aquí algunas de ellas:

 

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en Rm, n enteros no negativos. e infinitamente diferenciables tales que para todo

donde φ⁽ⁿ⁾ es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo S.

Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

S→ S

 Además vale la fórmula de inversión:

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

donde P_k son polinomios.

Debido a las propiedades

 

 

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.

3.6 Propiedades de la transformada de LAPLACE (linealidad, teorema de translacion)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para α.y ß  constantes. 

 

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

 

 

 

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad  IαI , tal como se muestra en la figúra 7.11.

Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

 

 

Donde  s→ s-a  significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo s se remplaza por s-a siempre que aparezca.   

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  t

 

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.