La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:
Para que la definición dada arriba tenga sentido, algunas condiciones técnicas tienen que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, gespectro de frecuencias de la señal f. corresponde al
La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.
Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. Hé aquí algunas de ellas:
El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en Rm, n enteros no negativos. e infinitamente diferenciables tales que para todo
donde φ(n) es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo S.
Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales
S→ S
Además vale la fórmula de inversión:
El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma
donde Pk son polinomios.
Debido a las propiedades
la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.
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