3.8 Transformada de derivadas

L { (n) (t) }= sn F(s) - s(n-1) (0) - s(n-2) '(0)-…- (n-1)(0).

Donde F(s) = L { (t) }.

 

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

En el resultado general del teorema 2 se ve que L {dny/dtn} sólo depende de Y(s) = L {y (t)} y de las n-1 derivadas de y (t) evaluadas en t=0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y', y'',….y(n):

an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),

dtn dtn-1

y(0) = y0, y'(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,

Donde las ai, i=0,…, n, y y0, y1,…, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace:

An L dny + an-1 L dn-1 y + … + a0 L {y} = L {g(t) }

Dtn dtn-1

De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en

an [snY(s) - sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]

+ An-1 [sn-1 Y(s) - sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),

Donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y después escribiremos

Y(s) = Q(s) + G(s)

P(s) P(s)

Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 +… a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…, n; también las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1 {Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.

En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:

Aplicar la transformada de Laplace L

Aplicar la transformación inversa L-1