3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

• Cambio de signo del argumento.

H(-X) = 1-H(X)

• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

• Transformada de Laplace.

• Límites.

• Es la integral de la función delta de Dirac.

 

3.4 Transformada de LAPLACE de funciones definidas por tramos

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas. 

 

3.3 Transformada de Laplace de funciones basicas

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Propiedades

 

 Potencia n-ésima

 

Otras transformadas comunes

 

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de LAPLACE

Si  f(t) es continua por tramos en el intervalo [0, ¥) y de orden exponencial c para   t > T, entonces L {f(t)} existe para  s > c.

Demostración.   L {f(t)} =  ò  e^-st f(t) dt  +  ò  e^-st f(t) dt  =  I₁ + I₂.

La integral I₁ existe porque se puede expresar como suma de integrales sobre intervalos donde e^-st f(t) dt  es continua.  Ahora:

|I₂|  £  ò  |e^-st f(t)| dt  £  M  ò  e^-st  e^ct dt

=  M  ò  e^-(s-c)t dt = -M e^-(s-c)t/s-c |   = M e^-(s-c)T/s-c,

cuando s > c.  Como ò   Me^-(s-c)t dt converge, la integral  ò  |e^-st f(t)| dt converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias.  Esto, a la vez, implica  que    I₂   existe   para   s > c.    La   existencia   de   I₁   e   I₂    implica    que   L {f(t)} =  ò  e^-st f(t) dt   existe  para   s > c.