Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:
La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde
Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación. Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K− 1(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:
Notación matemática aparte, la motivación detrás de la transformada integral es fácil de entender. Hay muchas clases de los problemas que son difíciles de solucionar - o al menos bastante poco gratos algebraicamente - en sus representaciones originales. Una transformada integral "mapea" una ecuación de su dominio original en otro dominio adecuado (por ejemplo,una función senoidal "en el dominio del tiempo" puede ser representada como un fasor "en el dominio de la frecuencia"). La manipulación y la solución de la ecuación en el dominio objetivo son, cuando el método está bien escogido, mucho más fáciles que la manipulación y la solución en el dominio original. La solución entonces es mapeada al dominio original con la transformada inversa. La transformada integral funciona porque están basadas sobre el concepto de la "factorización espectral" sobre bases ortonormales. Lo que esto significa es que, excepto algunas excepciones a veces bastante artificiales, funciones arbitrariamente complicadas pueden ser representadas como las sumas de funciones mucho más simples.
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