3.16 Determinación de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

 

 

3.15 Algunas transformadas inversas

3.14 Transformada inversa

 

3.13 Transformada de laplace de la funcion Delta Dirac

 

 

3.12 Funcion Delta Dirac

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

Siendo para el caso a =0

En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón:

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.

Definición como distribución de densidad

 Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones f_n(x) converge distribucionalmente cuando:

Donde φ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones.

La delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por d(φ) = φ(0), es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:

Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periodica)

 

 

 

3.10 Teorema de convolucion

3.9 Transformada de integrales

Una transformada integral es cualquier transformada T aplicada sobre la función f(x) de la forma siguiente:

La entrada de esta función T encontramos una función f(t), y la salida otra función F(u). Una transformada es un tipo especial de operador matemático. En ella t₁ y t₂ son dos valores que dependen de su definición, y pueden variar desde

Hay numerosas transformadas integrales útiles. Cada una depende de la función K de dos variables escogida, llamada la función núcleo o kernel de la transformación.
Algunos núcleos tienen una K inversa asociada, K ^{− 1}(u,t) , que (más o menos) da una transformada inversa:

Notación matemática aparte, la motivación detrás de la transformada integral es fácil de entender. Hay muchas clases de los problemas que son difíciles de solucionar - o al menos bastante poco gratos algebraicamente - en sus representaciones originales. Una transformada integral "mapea" una ecuación de su dominio original en otro dominio adecuado (por ejemplo,una función senoidal "en el dominio del tiempo" puede ser representada como un fasor "en el dominio de la frecuencia"). La manipulación y la solución de la ecuación en el dominio objetivo son, cuando el método está bien escogido, mucho más fáciles que la manipulación y la solución en el dominio original. La solución entonces es mapeada al dominio original con la transformada inversa.
La transformada integral funciona porque están basadas sobre el concepto de la "factorización espectral" sobre bases ortonormales. Lo que esto significa es que, excepto algunas excepciones a veces bastante artificiales, funciones arbitrariamente complicadas pueden ser representadas como las sumas de funciones mucho más simples.

3.8 Transformada de derivadas

L { (n) (t) }= sn F(s) - s(n-1) (0) - s(n-2) '(0)-…- (n-1)(0).

Donde F(s) = L { (t) }.

 

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.

En el resultado general del teorema 2 se ve que L {dny/dtn} sólo depende de Y(s) = L {y (t)} y de las n-1 derivadas de y (t) evaluadas en t=0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y', y'',….y(n):

an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),

dtn dtn-1

y(0) = y0, y'(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,

Donde las ai, i=0,…, n, y y0, y1,…, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformadas de Laplace:

An L dny + an-1 L dn-1 y + … + a0 L {y} = L {g(t) }

Dtn dtn-1

De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en

an [snY(s) - sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]

+ An-1 [sn-1 Y(s) - sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),

Donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y después escribiremos

Y(s) = Q(s) + G(s)

P(s) P(s)

Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 +… a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…, n; también las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1 {Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.

En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:

Aplicar la transformada de Laplace L

Aplicar la transformación inversa L-1

3.7 Transformada de funciones multiplicativas (t n)

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Para que la definición dada arriba tenga sentido, algunas condiciones técnicas tienen que ser satisfechas por la función f, a saber, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas.

La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales, la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la decomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, gespectro de frecuencias de la señal f. corresponde al

La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico.

Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. Hé aquí algunas de ellas:

 

El espacio de Schwartz consiste de las funciones φ tomando valores complejos, definidas en Rm, n enteros no negativos. e infinitamente diferenciables tales que para todo

donde φ⁽ⁿ⁾ es la n-ésima derivada de φ. Denotamos al espacio de Schwartz por el símbolo S.

Teorema Tanto la transformada de Fourier como la transformada de Fourier inversa son aplicaciones lineales

S→ S

 Además vale la fórmula de inversión:

El espacio de Schwartz es invariante con respecto a los operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, es decir de la forma

donde P_k son polinomios.

Debido a las propiedades

 

 

la transformada de Fourier es una herramienta muy importante para el estudio de las ecuaciones diferenciales tanto para la teoría que para su resolución práctica.

3.6 Propiedades de la transformada de LAPLACE (linealidad, teorema de translacion)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para α.y ß  constantes. 

 

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

 

 

 

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento

Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad  IαI , tal como se muestra en la figúra 7.11.

Para dar énfasis a esta traslación en el eje s, a veces es útil usar el simbolismo siguiente:

 

 

Donde  s→ s-a  significa que la transformada de Laplace F(s) de f(t) el símbolo s se remplaza por s-a siempre que aparezca.   

 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE  t

 

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN.

 

 

 

 

3.5 Funcion escalon unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside. Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Propiedades

• Cambio de signo del argumento.

H(-X) = 1-H(X)

• La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

• Transformada de Laplace.

• Límites.

• Es la integral de la función delta de Dirac.